Analyse quantitative des schémas numériques pour les équations aux dérivées partielles

La simulation numérique est devenue une méthode incontournable de résolution
d’équations aux dérivées partielles (EDP). Son implémentation pratique passe
par des schémas numériques, qui remplacent l’EDP par un ensemble d’équations
discrètes, plus précisément une équation aux différences indicée en temps et
en espace. Mais cette opération n’est pas sans conséquence. Le schéma peut
introduire des artefacts : oscillations ou étalement des discontinuités
présentes dans les conditions initiales, par exemple. L’analyse quantitative
des schémas vise à comprendre leur comportement, en particulier quels
artefacts ils sont susceptibles d’introduire, et quelles erreurs ils génèrent.
Pour y parvenir, elle calcule explicitement des solutions de schémas et les
compare aux solutions exactes des EDP. Elle s’appuie principalement sur trois
méthodes, que nous présentons dans ce livre. La méthode opératorielle écrit
directement la solution du schéma. L’analyse de Fourier en fournit une
représentation intégrale. La méthode de l’équation équivalente remplace
l’équation aux différences du schéma par une EDP qui reproduit son
comportement. Nous appliquons ces méthodes à trois EDP linéaires : équation
d’advection, des ondes et de la chaleur, et à un ensemble de schémas
représentatifs, caractérisés par leur ordre et leur caractère principal,
dissipatif (étalement des discontinuités) ou dispersif (générateur
d’oscillations parasites). Pour chacun des schémas étudiés, nous calculons des
solutions exactes ou approchées, et les comparons à des simulations
numériques. Nous montrons qu’elles peuvent souvent être décrites à l’aide de
fonctions spéciales universelles, au sens où elles ne dépendent que de l’ordre
et du caractère principal du schéma. Ce livre s’adresse à un public
d’étudiants, du master au doctorat, d’ingénieurs et de chercheurs utilisateurs
et concepteurs de méthodes numériques. Il vise à les aider à acquérir une
compréhension profonde et opérationnelle du comportement des schémas, utile
pour choisir le schéma le mieux adapté à une EDP donnée, ou pour en concevoir
de nouveaux.